5 Дано: прямая а – линия пересечения перпендикулярных плоскостей α и β. Прямая в принадлежит плоскости β и перпендикулярна прямой а. Доказать: в ⊥α.

Дано: прямая a - линия пересечения перпендикулярных плоскостей α и β. Прямая b принадлежит плоскости β и перпендикулярна прямой a. Доказать: b ⊥ α.

Доказательство:

1. Так как плоскости α и β перпендикулярны, это означает, что угол между ними равен 90 градусам.
2. Прямая a является линией пересечения этих плоскостей.
3. Прямая b принадлежит плоскости β и перпендикулярна прямой a.
4. Необходимо доказать, что прямая b перпендикулярна плоскости α.
5. Возьмем произвольную точку A на прямой a.
6. Через точку A проведем прямую c, лежащую в плоскости α и перпендикулярную прямой a.
7. Так как плоскости α и β перпендикулярны, то прямая c перпендикулярна плоскости β.
8. Рассмотрим прямую b. Она лежит в плоскости β и перпендикулярна прямой a.
9. Так как прямая c перпендикулярна плоскости β, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
10. Следовательно, прямая c перпендикулярна прямой b.
11. Итак, прямая b перпендикулярна прямой a (по условию) и прямой c (доказано).
12. Так как прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и c, лежащим в плоскости α, то прямая b перпендикулярна плоскости α.

Ответ: b ⊥ α доказано.