Дано: РЕКИ, MP = 8, MN = 12, ΜΕ = 6. Найти а) МК; 6) PE:NK; B) SMEP: SMKN.

a) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Угол M - общий. Стороны, образующие угол M, пропорциональны:$$\frac{MP}{MN}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$, $$\frac{ME}{MK}=\frac{6}{x}$$, где x - длина MK.

Поскольку треугольники подобны, то $$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$$.

Решим уравнение: $$2x = 18$$, $$x = 9$$.

Значит, MK = 9.

б) Отношение PE к NK равно коэффициенту подобия треугольников MPE и MNK, т.е. $$\frac{PE}{NK} = \frac{2}{3}$$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, $$\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: а) MK = 9; б) PE:NK = 2:3; в) SMEP: SMKN = 4:9