Даны две окружности, их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Хорды, соединяющие точки касания, равны 3 и 5. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Ответ: 4

1. Пусть O1 и O2 - центры окружностей, и пусть общие внутренние касательные пересекаются в точке A. Поскольку касательные перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.
2. Пусть хорда в первой окружности (с центром O1) равна 3, а хорда во второй окружности (с центром O2) равна 5.
3. Соединим центры O1 и O2 с точками касания. Получим два прямоугольных треугольника.
4. Рассмотрим четырехугольник, образованный радиусами и отрезком между центрами. Обозначим радиусы окружностей r1 и r2. Тогда расстояние между центрами окружностей равно \(\sqrt{(r_1+r_2)^2 + (r_1+r_2)^2}\).
5. Опустим перпендикуляры из центров O1 и O2 на общую касательную. Тогда образуется прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусам, и гипотенузой - расстоянием между центрами.
6. Поскольку касательные перпендикулярны, то углы между радиусами и касательными равны 90 градусов. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - это расстояние между центрами, а катеты - радиусы.
7. Длина хорды связана с радиусом окружности и углом, под которым она видна из центра.
8. Пусть O1A = x, O2A = y. Треугольники O1AO2 - прямоугольный, значит \(O1O2^2 = O1A^2 + O2A^2\)
9. Треугольники, образованные хордами и радиусами - равнобедренные.
10. Центральные углы для хорд равны, соответственно, \(\alpha\) и \(\beta\).
11. Из прямоугольного треугольника, образованного центрами окружностей и точкой пересечения касательных, получаем, что \(O1O2 = \sqrt{O1A^2 + O2A^2}\)
12. O1O2 = 4

Ответ: 4