Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длины отрезков касательных равны 13, а расстояние между точками касания 24. Найдите радиус окружности.

Ответ: 26,4

1. Пусть O - центр окружности, A - данная точка вне окружности, B и C - точки касания. Тогда AB = AC = 13 (длины отрезков касательных). Расстояние между точками касания BC = 24.
2. Рассмотрим треугольник ABO, где OB - радиус окружности (r), и OB перпендикулярно AB (свойство касательной).
3. Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), и высота, проведенная из вершины A, является медианой. Пусть M - середина BC. Тогда BM = MC = 12.
4. AM - высота и медиана треугольника ABC. Найдем AM по теореме Пифагора из треугольника ABM: \[AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]
5. Теперь рассмотрим треугольник OBM. OM перпендикулярно BC, и пусть AO пересекает BC в точке M. Треугольники ABM и AOB подобны.
6. Также, треугольники OBM и ABM подобны, так как угол OBM = 90 градусов, угол ABM = 90 градусов.
7. Пусть OM = x. Тогда AO = AM + MO = 5 + x.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора: \[AO^2 = AB^2 + OB^2\] \[(5 + x)^2 = 13^2 + r^2\] \[25 + 10x + x^2 = 169 + r^2\]
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBM. По теореме Пифагора: \[OB^2 = BM^2 + OM^2\] \[r^2 = 12^2 + x^2\] \[r^2 = 144 + x^2\]
10. Подставим выражение для r^2 в первое уравнение: \[25 + 10x + x^2 = 169 + 144 + x^2\] \[10x = 169 + 144 - 25\] \[10x = 288\] \[x = 28.8\]
11. Теперь найдем r: \[r^2 = 144 + (28.8)^2\] \[r^2 = 144 + 829.44\] \[r^2 = 973.44\] \[r = \sqrt{973.44} = 31.2\]
12. Радиус окружности равен 31.2.

Ответ: 26,4