Из точки А, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Найдите, во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки А до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга.

Ответ: 8

1. Пусть A - точка вне круга, B - точка касания, C и D - точки пересечения секущей с окружностью, причем C лежит между A и D.
2. По условию, расстояние от точки A до точки касания B равно 3x, где x - длина отрезка секущей, находящегося вне круга, то есть AB = 3x и AC = x.
3. По теореме о касательной и секущей: \(AB^2 = AC \cdot AD\).
4. Подставим известные значения: \((3x)^2 = x \cdot AD\).
5. Тогда \(9x^2 = x \cdot AD\), откуда \(AD = 9x\).
6. Отрезок секущей, лежащий внутри круга, это CD. Длина CD равна разности AD и AC: \(CD = AD - AC = 9x - x = 8x\).
7. Найдём, во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга: \(\frac{CD}{AC} = \frac{8x}{x} = 8\).

Ответ: 8