Даны стороны BC и AC треугольника ABC и угол A, противолежащий стороне BC. Найдите другие углы и третью сторону, если BC=10 см, AC=7 см и угол A=60°.

Обозначим \(AB=x\). По теореме косинусов для стороны BC:

\(10^2=7^2+x^2-2\cdot7x\cos60^\circ\), откуда \(x^2-7x-51=0\).

Положительный корень: \(AB=x=\dfrac{7+\sqrt{253}}2\approx11.45\) см.

По теореме синусов \(\sin B=\dfrac{AC\sin A}{BC}=\dfrac{7\sqrt3}{20}\), откуда \(B\approx37.31^\circ\). Второе значение угла с таким синусом невозможно, поскольку вместе с \(A=60^\circ\) сумма превысила бы 180°.

\(C=180^\circ-60^\circ-B\approx82.69^\circ\).

Ответ: \(\angle B\approx37.31^\circ\), \(\angle C\approx82.69^\circ\), \(AB\approx11.45\) см.