В треугольнике даны две стороны и угол, лежащий против одной из этих сторон. Вычислите третью сторону и остальные два угла, если AB=11,5 см, BC=25,6 см, угол A=80,17°.

Обозначим \(AC=x\). По теореме косинусов для стороны BC:

\(25.6^2=11.5^2+x^2-2\cdot11.5x\cos80.17^\circ.\)

Решая квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получаем:

\(x=11.5\cos80.17^\circ+\sqrt{25.6^2-11.5^2\sin^2 80.17^\circ}\approx24.92\) см.

По теореме синусов \(\sin C=\dfrac{AB\sin A}{BC}=\dfrac{11.5\sin80.17^\circ}{25.6}\), откуда \(C\approx26.27^\circ\). Второе значение угла с таким синусом невозможно, так как вместе с A оно превысило бы 180°.

\(B=180^\circ-A-C\approx73.56^\circ\).

Ответ: \(AC\approx24.92\) см, \(\angle B\approx73.56^\circ\), \(\angle C\approx26.27^\circ\).