Даны векторы \(\vec{a}\)(7; 1) и \(\vec{b}\)(-7; -1). Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) находится по формуле: \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \).

1. Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot (-7) + 1 \cdot (-1) = -49 - 1 = -50 \)
2. Найдем длины векторов:
• \( |\vec{a}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
• \( |\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
3. Найдем косинус угла:
• \( \cos(\alpha) = \frac{-50}{(5\sqrt{2}) (5\sqrt{2})} = \frac{-50}{25 \cdot 2} = \frac{-50}{50} = -1 \)

Ответ: -1