Даны векторы \( \vec{a} = (7; -24) \), \( \vec{b} = (-4; 6) \) и \( \vec{c} = (-3; 9) \). Найдите длину вектора \( \vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c} \).

Решение:

Сначала найдем вектор \( \vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c} \). Для этого сложим соответствующие координаты векторов.

Координаты вектора \( 4\vec{b} \):

\( 4\vec{b} = (4 \cdot (-4); 4 \cdot 6) = (-16; 24) \)

Теперь сложим векторы:

\( \vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c} = (7; -24) + (-16; 24) + (-3; 9) \)

\( \vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c} = (7 - 16 - 3; -24 + 24 + 9) \)

\( \vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c} = (-12; 9) \)

Теперь найдем длину полученного вектора. Длина вектора \( (x; y) \) находится по формуле \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

\( |\vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} \)

\( |\vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{144 + 81} \)

\( |\vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{225} \)

\( |\vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c}| = 15 \)

Ответ: 15