Решите уравнение \( \log_{x+3}36 = 2 \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

По определению логарифма, \( \log_a b = c \) эквивалентно \( a^c = b \).

Применяя это к нашему уравнению, получаем:

\( (x+3)^2 = 36 \)

Раскроем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( x+3 = \pm \sqrt{36} \)

\( x+3 = \pm 6 \)

Это даёт нам два возможных случая:

1. \( x+3 = 6 \)

\( x = 6 - 3 \)

\( x = 3 \)

2. \( x+3 = -6 \)

\( x = -6 - 3 \)

\( x = -9 \)

Теперь проверим условия допустимости основания логарифма: основание \( x+3 \) должно быть положительным и не равным 1.

Для \( x = 3 \):

Основание \( x+3 = 3+3 = 6 \). Так как \( 6 > 0 \) и \( 6 \neq 1 \), этот корень подходит.

Для \( x = -9 \):

Основание \( x+3 = -9+3 = -6 \). Так как \( -6 \) не является положительным числом, этот корень не подходит.

Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( x = 3 \).

Ответ: 3