Найдите значение выражения \( \log_{0.4}8 \cdot \log_{8}2.5 \).

Решение:

Для решения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Применим эту формулу к обоим логарифмам, перейдя к общему основанию, например, к основанию 10 или \( e \) (натуральный логарифм). Воспользуемся натуральным логарифмом \( \ln \).

\( \log_{0.4}8 = \frac{\ln 8}{\ln 0.4} \)

\( \log_{8}2.5 = \frac{\ln 2.5}{\ln 8} \)

Теперь перемножим эти выражения:

\( \log_{0.4}8 \cdot \log_{8}2.5 = \frac{\ln 8}{\ln 0.4} \cdot \frac{\ln 2.5}{\ln 8} \)

Сократим \( \ln 8 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{\ln 2.5}{\ln 0.4} \)

Теперь заметим, что \( 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) и \( 2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \).

Значит, \( 0.4 = \frac{1}{2.5} \).

Используем свойство логарифма: \( \ln \frac{1}{a} = -\ln a \).

\( \ln 0.4 = \ln \frac{1}{2.5} = -\ln 2.5 \)

Подставим это обратно в выражение:

\( = \frac{\ln 2.5}{-\ln 2.5} \)

\( = -1 \)

Ответ: -1