9 Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=Uocos(wt + φ), где t – время в секундах, амплитуда Uo= 2 В, частота w = 120°/c, фаза φ = -45°. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Найдем, какую часть времени лампочка будет гореть.

Из условия, лампочка загорается, если $$U \ge 1$$.

$$U = U_0 \cos(\omega t + \varphi) = 2 \cos(120^{\circ} t - 45^{\circ})$$ $$2 \cos(120^{\circ} t - 45^{\circ}) \ge 1$$ $$\cos(120^{\circ} t - 45^{\circ}) \ge \frac{1}{2}$$

Решим неравенство:

$$- \frac{\pi}{3} \le 120^{\circ} t - 45^{\circ} \le \frac{\pi}{3}$$ $$- 60^{\circ} \le 120^{\circ} t - 45^{\circ} \le 60^{\circ}$$ $$- 60^{\circ} + 45^{\circ} \le 120^{\circ} t \le 60^{\circ} + 45^{\circ}$$ $$-15^{\circ} \le 120^{\circ} t \le 105^{\circ}$$ $$-\frac{15}{120} \le t \le \frac{105}{120}$$ $$-\frac{1}{8} \le t \le \frac{7}{8}$$

Так как рассматривается промежуток времени от 0 до 1 секунды, то:

$$0 \le t \le \frac{7}{8}$$

Тогда часть времени, когда горит лампочка:

$$\frac{\frac{7}{8} - 0}{1 - 0} = \frac{7}{8} = 0.875$$

В процентах:

$$0.875 \cdot 100 = 87.5 \%$$

Ответ: 87,5