Диагональ АС ромба ABCD равна 4, а tg ∠BCA = 0,5 Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткая запись:

• Дано: Ромб ABCD, \( AC = 4 \), \( tg \angle BCA = 0,5 \).
• Найти: радиус вписанной окружности (r)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Точка пересечения диагоналей - O. \( AO = OC = AC/2 = 4/2 = 2 \).
2. Шаг 2: Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( OC = 2 \). \( tg \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).
3. Шаг 3: Найдем BO: \( BO = OC \cdot tg \angle BCA = 2 \cdot 0,5 = 1 \).
4. Шаг 4: Найдем диагональ BD: \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 1 = 2 \).
5. Шаг 5: Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \).
6. Шаг 6: Найдем сторону ромба AB по теореме Пифагора из \( \triangle BOC \): \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \). \( BC = \sqrt{5} \).
7. Шаг 7: Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: \( S = a \cdot h \). Высота ромба \( h \) является диаметром вписанной окружности. \( 4 = \sqrt{5} \cdot h \).
8. Шаг 8: Найдем высоту: \( h = \frac{4}{\sqrt{5}} \).
9. Шаг 9: Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)