13. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро равно 10 см. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 192 см³

1. Шаг 1: Найдем сторону основания (a). Так как основание – квадрат, то диагональ связана со стороной через соотношение: \[d = a\sqrt{2}\]где d – диагональ. Из условия d = 12 см, поэтому:\[12 = a\sqrt{2}\]\[a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ см}\]
2. Шаг 2: Найдем высоту пирамиды (h). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Боковое ребро (l) равно 10 см. Половина диагонали основания: \[\frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ см}\]По теореме Пифагора:\[h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2\]\[h^2 + 6^2 = 10^2\]\[h^2 + 36 = 100\]\[h^2 = 64\]\[h = 8\text{ см}\]
3. Шаг 3: Найдем площадь основания (S). Так как основание – квадрат, то: \[S = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72\text{ см}^2\]
4. Шаг 4: Найдем объем пирамиды (V): \[V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 24 \cdot 8 = 192\text{ см}^3\]

Ответ: 192 см³