15. Решите уравнение sin2x = √3sin (3π/2 -x);

Ответ: x = πn, x = π/3 + 2πn, x = 5π/3 + 2πn, где n ∈ Z

1. Шаг 1: Упрощаем уравнение, используя формулу приведения: \[sin(2x) = \sqrt{3}sin(\frac{3π}{2} - x)\]\[sin(2x) = \sqrt{3}(-cos(x))\]\[sin(2x) = -\sqrt{3}cos(x)\]
2. Шаг 2: Используем формулу двойного угла: \[2sin(x)cos(x) = -\sqrt{3}cos(x)\]
3. Шаг 3: Переносим все в одну сторону: \[2sin(x)cos(x) + \sqrt{3}cos(x) = 0\]
4. Шаг 4: Выносим cos(x) за скобки: \[cos(x)(2sin(x) + \sqrt{3}) = 0\]
5. Шаг 5: Решаем уравнение: \[cos(x) = 0\text{ или } 2sin(x) + \sqrt{3} = 0\]
6. Шаг 6: Решаем первое уравнение: \[cos(x) = 0\]\[x = \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z\]
7. Шаг 7: Решаем второе уравнение: \[2sin(x) + \sqrt{3} = 0\]\[sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[x = -\frac{π}{3} + 2πn, n ∈ Z\text{ или } x = \frac{4π}{3} + 2πn, n ∈ Z\]
8. Шаг 8: Приводим к общему виду: \[x = πn, x = \frac{π}{3} + 2πn, x = \frac{5π}{3} + 2πn, n ∈ Z\]

Ответ: x = πn, x = π/3 + 2πn, x = 5π/3 + 2πn, где n ∈ Z