12. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 186 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Ответ: 433.75 мл

1. Шаг 1: Обозначим высоту всего конуса как H, а радиус основания как R.
2. Шаг 2: Объем конуса выражается формулой:\[V = \frac{1}{3}πR^2H\]
3. Шаг 3: Уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Обозначим высоту жидкости как h = \frac{2}{3}H.
4. Шаг 4: Поскольку сосуд имеет форму конуса, то отношение радиуса основания конуса с жидкостью (r) к радиусу основания всего конуса (R) равно отношению высот:\[\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{2/3H}{H} = \frac{2}{3}\]Отсюда r = \frac{2}{3}R.
5. Шаг 5: Объем жидкости в конусе:\[v = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3}π(\frac{2}{3}R)^2(\frac{2}{3}H) = \frac{1}{3}π(\frac{4}{9}R^2)(\frac{2}{3}H) = \frac{8}{27}(\frac{1}{3}πR^2H) = \frac{8}{27}V\]
6. Шаг 6: По условию, объем жидкости v = 186 мл, значит: \[186 = \frac{8}{27}V\]
7. Шаг 7: Находим объем всего конуса V:\[V = 186 \cdot \frac{27}{8} = \frac{5022}{8} = 627.75 \text{ мл}\]
8. Шаг 8: Чтобы найти, сколько миллилитров жидкости нужно долить, вычитаем объем жидкости из объема всего конуса:\[627.75 - 186 = 441.75 \text{ мл}\]

Ответ: 441.75 мл