232 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная д, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из боковых граней — угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть a, b - стороны основания, h - высота параллелепипеда, d - диагональ параллелепипеда.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен φ, значит:

$$h = d \sin(\varphi)$$.

Угол между диагональю и одной из боковых граней равен α, значит:

$$a = d \cos(\alpha)$$.

Диагональ основания:

$$d_{осн} = d \cos(\varphi)$$.

По теореме Пифагора:

$$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$$

$$b^2 = d_{осн}^2 - a^2 = (d \cos(\varphi))^2 - (d \cos(\alpha))^2 = d^2 (\cos^2(\varphi) - \cos^2(\alpha))$$

$$b = d \sqrt{\cos^2(\varphi) - \cos^2(\alpha)}$$.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

$$S_{бок} = 2(a + b)h = 2(d \cos(\alpha) + d \sqrt{\cos^2(\varphi) - \cos^2(\alpha)}) d \sin(\varphi) = 2d^2 \sin(\varphi) (\cos(\alpha) + \sqrt{\cos^2(\varphi) - \cos^2(\alpha)})$$.

Ответ: $$S_{бок} = 2d^2 \sin(\varphi) (\cos(\alpha) + \sqrt{\cos^2(\varphi) - \cos^2(\alpha)})$$.