234 Основанием прямой призмы является прямоугольный треуголь ник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведе на плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠C = 90°.

Катеты AC = 20 см, BC = 21 см, боковое ребро (высота призмы) h = 42 см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ см}$$

Пусть M - середина гипотенузы, тогда AM = MB = AB/2 = 29/2 = 14.5 см.

Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Эта плоскость пересекает катеты AC и BC в точках D и E соответственно.

Треугольники ABC и MDE подобны, так как плоскость перпендикулярна гипотенузе, а следовательно, и катетам.

Плоскость пересекает призму, образуя прямоугольник MDEE', где EE' = DD' = h = 42 см.

DE - средняя линия треугольника ABC, следовательно DE = 1/2 * AB = 1/2 * 29 = 14.5 см.

Площадь сечения: $$S_{сеч} = DE \cdot h = 14.5 \cdot 42 = 609 \text{ см}^2$$

Ответ: 609 см²