233 Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ₁ проведено сечение BB1D₁D, перпендикулярное к плоскости грани АА,С₁C. Найдите площадь сечения, если АА₁ = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠B = 90°.

Сечение BB₁D₁D перпендикулярно к плоскости грани AA₁C₁C.

AA₁ = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см.

Треугольник ADC - прямоугольный, AD = 27 см, DC = 12 см.

AC = AD + DC = 27 + 12 = 39 см.

По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + DC^2$$

$$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{27^2 + 12^2} = \sqrt{729 + 144} = \sqrt{873} \approx 29.55 \text{ см}$$

Высота BD к гипотенузе AC треугольника ABC является высотой сечения BB₁D₁D.

Площадь сечения BB₁D₁D: $$S_{сеч} = BD \cdot BB_1 = BD \cdot AA_1$$

Площадь треугольника ADC: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 12 = 162 \text{ см}^2$$

С другой стороны: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \Rightarrow BD = \frac{2S_{ADC}}{AC} = \frac{2 \cdot 162}{\sqrt{873}} = \frac{324}{\sqrt{873}} \approx 10.96 \text{ см}$$

Площадь сечения: $$S_{сеч} = BD \cdot AA_1 = \frac{324}{\sqrt{873}} \cdot 10 = \frac{3240}{\sqrt{873}} \approx 109.64 \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{сеч} \approx 109.64 \text{ см}^2$$