229 В правильной п-угольной призме сторона основания равна а и высо та равна п. Вычислите площади боковой и полной поверхности приз мы, если: а) п = 3, а = 10 см, h = 15 см; б) п = 4, а = 12 дм, h = 8 дм; в) п = 6, а = 23 см, h = 5 2 = 5 дм; г) п = 5, а = 0,4 м, h = 10 см.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной призмы вычисляется по формуле: $$S_{бок} = n \cdot a \cdot h$$, где n – количество сторон основания, a – длина стороны основания, h – высота призмы.

Площадь полной поверхности правильной n-угольной призмы вычисляется по формуле: $$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$$, где $$S_{осн}$$ – площадь основания призмы.

а) n = 3, a = 10 см, h = 15 см

Основание - правильный треугольник, значит его площадь $$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} \approx 43.3 \text{ см}^2$$.

$$S_{бок} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$$

$$S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25 \sqrt{3} = 450 + 50 \sqrt{3} \approx 450 + 50 \cdot 1.73 = 450 + 86.5 = 536.5 \text{ см}^2$$

б) n = 4, a = 12 дм, h = 8 дм

Основание - квадрат, значит его площадь $$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ дм}^2$$.

$$S_{бок} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2$$

$$S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2$$

в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм = 50 см

Основание - правильный шестиугольник, значит его площадь $$S_{осн} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 23^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 529 = \frac{1587 \sqrt{3}}{2} \approx 1374.1 \text{ см}^2$$.

$$S_{бок} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2$$

$$S_{полн} = 6900 + 2 \cdot \frac{1587 \sqrt{3}}{2} = 6900 + 1587 \sqrt{3} \approx 6900 + 1587 \cdot 1.73 = 6900 + 2745.51 = 9645.51 \text{ см}^2$$

г) n = 5, a = 0.4 м, h = 10 см = 0.1 м

Основание - правильный пятиугольник, значит его площадь $$S_{осн} = \frac{5a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{5})} = \frac{5 \cdot 0.4^2}{4 \tan(\frac{\pi}{5})} = \frac{5 \cdot 0.16}{4 \tan(\frac{\pi}{5})} = \frac{0.8}{4 \cdot 0.7265} = \frac{0.8}{2.906} \approx 0.275 \text{ м}^2$$.

$$S_{бок} = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1 = 0.2 \text{ м}^2$$

$$S_{полн} = 0.2 + 2 \cdot 0.275 = 0.2 + 0.55 = 0.75 \text{ м}^2$$

Ответ: а) $$S_{бок} = 450 \text{ см}^2$$, $$S_{полн} \approx 536.5 \text{ см}^2$$; б) $$S_{бок} = 384 \text{ дм}^2$$, $$S_{полн} = 672 \text{ дм}^2$$; в) $$S_{бок} = 6900 \text{ см}^2$$, $$S_{полн} \approx 9645.51 \text{ см}^2$$; г) $$S_{бок} = 0.2 \text{ м}^2$$, $$S_{полн} = 0.75 \text{ м}^2$$