231 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сече ний равна 130 см². Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда a = 8 см, b = 15 см, угол между ними γ = 60°.

Площадь диагонального сечения: $$S_{сеч} = d \cdot h$$, где d - диагональ основания, h - высота параллелепипеда.

Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см², значит меньшая диагональ основания умноженная на высоту, дает 130 см².

Найдем диагонали основания по теореме косинусов:

$$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$$

$$d_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

$$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \gamma) = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) = 289 + 120 = 409$$

$$d_2 = \sqrt{409} \approx 20.22 \text{ см}$$

Меньшая диагональ: d₁ = 13 см.

Площадь меньшего диагонального сечения: $$S_{сеч} = d_1 \cdot h = 130$$

$$13 \cdot h = 130$$

$$h = 10 \text{ см}$$

Площадь основания параллелепипеда: $$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\gamma) = 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60 \sqrt{3} \approx 103.92 \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

$$S_{бок} = 2 \cdot (a \cdot h + b \cdot h) = 2 \cdot (8 \cdot 10 + 15 \cdot 10) = 2 \cdot (80 + 150) = 2 \cdot 230 = 460 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности параллелепипеда:

$$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 460 + 2 \cdot 60 \sqrt{3} = 460 + 120 \sqrt{3} \approx 460 + 120 \cdot 1.73 = 460 + 207.6 = 667.6 \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{полн} \approx 667.6 \text{ см}^2$$