230 Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей бо ковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхно сти призмы.

Пусть a = 5 см, b = 3 см, угол между ними γ = 120°.

Площадь треугольника основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \approx 6.5 \text{ см}^2$$

Пусть h - высота призмы.

Площадь боковых граней: $$S_{бок.гр.} = a \cdot h, b \cdot h, c \cdot h$$

Наибольшая площадь боковой грани равна 35 см², значит $$a \cdot h = 35$$

$$5 \cdot h = 35$$

$$h = 7 \text{ см}$$

Найдем третью сторону треугольника по теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$$

$$c = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности призмы:

$$S_{бок} = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 5 \cdot 7 + 3 \cdot 7 + 7 \cdot 7 = 35 + 21 + 49 = 105 \text{ см}^2$$

Ответ: 105 см²