Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки 4см и 9см. Найдите основания трапеции.

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств трапеции и средней линии.

1. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
2. Отрезок средней линии, соединяющий ее с диагональю, равен полуразности оснований.

Пусть ABCD – данная трапеция, AD и BC – основания. MN – средняя линия, которая делится диагональю AC на отрезки MK = 4 см и KN = 9 см.

Тогда, по условию задачи, MK = 4 см и KN = 9 см. Следовательно, средняя линия MN = MK + KN = 4 + 9 = 13 см.

Известно, что отрезок средней линии трапеции от вершины до диагонали равен полуразности оснований: MK = (AD - BC)/2 и KN = (AD + BC)/2.

Тогда можно записать систему уравнений:

$$\begin{cases} AD + BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 13 = 26 \\ \frac{AD - BC}{2} = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения: $$AD - BC = 8$$. Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} AD + BC = 26 \\ AD - BC = 8 \end{cases}$$

Сложим эти два уравнения: $$2AD = 34$$, $$AD = 17$$ см.

Теперь найдем BC: $$BC = 26 - AD = 26 - 17 = 9$$ см.

Ответ: основания трапеции равны 17 см и 9 см.