6. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и ВОС равны соответственно 16 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, AC и BD пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOD = 16 см², площадь треугольника BOC = 9 см². Необходимо найти площадь трапеции ABCD.

1. Треугольники AOD и BOC подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$ $$k^2 = \frac{16}{9}$$ $$k = \frac{4}{3}$$
2. Отношение оснований AD и BC также равно k: $$\frac{AD}{BC} = \frac{4}{3}$$ AD = (4/3)BC
3. Треугольники AOB и COD равновеликие (их площади равны). Докажем это: Площадь треугольника ABD равна сумме площадей треугольников AOD и AOB. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BOC и AOB. Площади треугольников ABD и ABC равны, так как у них общее основание AB и равные высоты (высоты трапеции). Следовательно, $$S_{AOD} + S_{AOB} = S_{BOC} + S_{AOB}$$ $$S_{AOD} = S_{BOC}$$ $$16 = 9$$
4. Площадь треугольника AOD относится к площади треугольника AOB как AD к BC (высота из O к основаниям общая): $$\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \frac{AD}{BC} = \frac{4}{3}$$ $$\frac{16}{S_{AOB}} = \frac{4}{3}$$ $$S_{AOB} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 12$$
5. Следовательно, площадь треугольника COD также равна 12 см².
6. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOD, BOC, AOB и COD: $$S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD} = 16 + 9 + 12 + 12 = 49$$

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 49 см².