7. Прямая, параллельная основаниям МР и МК трапеции МNКР, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны МN и КР в точках А и В соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если МР = 40 см, МК = 24 см.

Пусть дана трапеция MNKP, MP и NK - основания, MP = 40 см, NK = 24 см. Прямая AB параллельна основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей, A лежит на MN, B лежит на KP. Необходимо найти длину отрезка AB.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей O. Так как AB || MP || NK, то треугольники MNO и ABO подобны, и треугольники KPO и BPO подобны.
2. Пусть h1 - высота треугольника MNO, h2 - высота треугольника KPO. Тогда \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{NK}{MP} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\).
3. Высота трапеции MNKP равна h1 + h2. Пусть h1 = 3x, h2 = 5x, тогда высота трапеции равна 8x.
4. Пусть AB = x. Из подобия треугольников MNO и ABO следует: \(\frac{AB}{NK} = \frac{MO}{MK}\). Из подобия треугольников KPO и BPO следует: \(\frac{AB}{MP} = \frac{KO}{MP}\).
5. $$\frac{AB}{NK} + \frac{AB}{MP} = 1$$

AB = $$(\frac{2 \cdot NK \cdot MP}{NK + MP}) = (\frac{2 \cdot 24 \cdot 40}{24 + 40}) = (\frac{2 \cdot 24 \cdot 40}{64}) = (\frac{2 \cdot 3 \cdot 40}{8}) = (\frac{3 \cdot 40}{4}) = 3 \cdot 10 = 30$$

Ответ: AB = 30 см.