20. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем DE = ВС, углы отмечены на рисунке. Найдите длину отрезка AD, если АВ = 5, СЕ = 7.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\). \(DE = BC\) (по условию). \(\angle ABE = \angle CED = 70^{\circ}\) (по условию). \(\angle AEB = \angle DEC\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle ABE = \triangle CDE\) (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда \(AE = CE = 7\). Рассмотрим \(\triangle ADE\): \(\angle AED = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\). \(\angle DAE = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}\). \(\triangle ADE\) - равнобедренный, значит \(AD = DE\). Так как \(\triangle ABE = \triangle CDE\), то \(AB = CD = 5\). \(\angle EDC = 40^{\circ}\), тогда \(\angle CDB = \angle EDC = 40^{\circ}\), и \(\triangle BCD\) - равнобедренный, значит \(BC = CD = 5\). Так как \(DE = BC\), то \(DE = 5\). Следовательно, \(AD = DE = 5\). Ответ: 5