23. Диагонали МР и NK трапеции MNPK пересекаются в точке А(МК и NP - основания трапеции). Площади треугольников МАК и NAP равны соответственно 25 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Пусть S_MAK = 25 см², S_NAP = 9 см².

Треугольники МАК и NAP подобны (т.к. MK || NP).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_MAK / S_NAP = k²

k² = 25 / 9

k = √(25 / 9) = 5 / 3

Значит, MK / NP = 5 / 3

Пусть h₁ - высота треугольника MАК, h₂ - высота треугольника NAP. Тогда h₁ / h₂ = 5 / 3

h₁ = (5 / 3) * h₂

Площадь треугольника MNK равна S_MNK = (1 / 2) * MK * h, где h - высота трапеции.

h = h₁ + h₂ = (5 / 3) * h₂ + h₂ = (8 / 3) * h₂

Аналогично, площадь треугольника MNP равна S_MNP = (1 / 2) * NP * h.

Площадь трапеции MNPK равна S_MNPK = S_MNK + S_MNP = (1 / 2) * MK * h + (1 / 2) * NP * h = (1 / 2) * h * (MK + NP) = (1 / 2) * (8 / 3) * h₂ * (5x + 3x) = (4 / 3) * h₂ * 8x = (32 / 3) * h₂ * x

S_MAP = S_NAK = √(S_MAK * S_NAP) = √(25 * 9) = √225 = 15 см²

S_MNPK = S_MAK + S_NAP + S_MAP + S_NAK = 25 + 9 + 15 + 15 = 64 см²

Ответ: 64