24. В равностороннем треугольнике ABC(АВ = ВС) точки Q, R, T – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что треугольник QRT – равносторонний.

Пусть ABC - равносторонний треугольник, Q, R, T - середины сторон AB, BC, AC соответственно.

Нужно доказать, что треугольник QRT - равносторонний.

Доказательство:

Т.к. Q, R - середины сторон AB и BC, то QR - средняя линия треугольника ABC. Значит, QR || AC и QR = (1 / 2) * AC.

Т.к. R, T - середины сторон BC и AC, то RT - средняя линия треугольника ABC. Значит, RT || AB и RT = (1 / 2) * AB.

Т.к. Q, T - середины сторон AB и AC, то QT - средняя линия треугольника ABC. Значит, QT || BC и QT = (1 / 2) * BC.

Т.к. ABC - равносторонний, то AB = BC = AC.

Тогда QR = RT = QT = (1 / 2) * AB.

Следовательно, треугольник QRT - равносторонний (т.к. все стороны равны).

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано