40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны a, b, c. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рис. 120).

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда x, y, z. Тогда, согласно условию, мы имеем: (x^2 + y^2 = a^2) (y^2 + z^2 = b^2) (x^2 + z^2 = c^2) Сложим все три уравнения: (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = a^2 + b^2 + c^2) (x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}) Теперь выразим x, y, z по отдельности: (x^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (y^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - b^2 = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}) (x = \sqrt{\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}}) (y^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - c^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}) (y = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}}) (z^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - a^2 = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}) (z = \sqrt{\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}}) Ответ: \(x = \sqrt{\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2}}, y = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}}, z = \sqrt{\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2}}\)