39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения M.

Пусть стороны основания параллелепипеда a и b. Площадь основания (Q = ab). Площадь диагонального сечения (M = d \cdot h), где d - диагональ основания, а h - высота. Диагональ основания (d = \sqrt{a^2 + b^2}). Тогда (M = h\sqrt{a^2 + b^2}). Боковая поверхность (S_{бок} = P_{осн} \cdot h), где (P_{осн}) - периметр основания. (P_{осн} = 2(a+b)), значит, (S_{бок} = 2(a+b)h). Из (M = h\sqrt{a^2 + b^2}) выразим (\sqrt{a^2 + b^2} = \frac{M}{h}), откуда (a^2 + b^2 = \frac{M^2}{h^2}). Мы знаем, что (Q = ab), то есть (ab = Q). Выразим ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab = \frac{M^2}{h^2} + 2Q). Тогда (a+b = \sqrt{\frac{M^2}{h^2} + 2Q}). И, наконец, (S_{бок} = 2h(a+b) = 2h\sqrt{\frac{M^2}{h^2} + 2Q} = 2\sqrt{M^2 + 2Qh^2}). Ответ: \(2\sqrt{M^2 + 2Qh^2}\)