41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Пусть основание пирамиды - равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 10 см, BC = 12 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, равные 45°. Обозначим вершину пирамиды D, а основание высоты пирамиды - точку O. Так как двугранные углы при основании равны, то точка O является центром вписанной окружности в треугольник ABC. 1. Найдем полупериметр треугольника ABC: (p = (10 + 10 + 12)/2 = 16) см. 2. Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона: (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48) см². 3. Найдем радиус вписанной окружности r по формуле (r = S/p = 48/16 = 3) см. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды DO, радиусом вписанной окружности OA (где A - точка касания вписанной окружности со стороной треугольника) и апофемой боковой грани DA. Угол DAO равен 45° (так как боковые грани образуют с основанием углы по 45°). Тогда треугольник DAO - равнобедренный, и DO = OA = r. Таким образом, высота пирамиды DO = 3 см. Ответ: 3 см.