5. Диаметр окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 12 см, а сторона многоугольника — 6√3 см. Найдите количество сторон данного многоугольника и радиус вписанной окружности.

Решение: Радиус описанной окружности равен половине диаметра, то есть R = 12/2 = 6 см. Пусть a - сторона многоугольника, R - радиус описанной окружности. Используем теорему синусов для треугольника, образованного двумя радиусами и стороной многоугольника: \[\frac{a}{\sin{\frac{360}{n}}} = 2R\] где n - количество сторон многоугольника. Подставим известные значения: \[\frac{6\sqrt{3}}{\sin{\frac{360}{n}}} = 2 \cdot 6\] \[\sin{\frac{360}{n}} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Значит, \[\frac{360}{n} = 60\] \[n = \frac{360}{60} = 6\] Многоугольник - правильный шестиугольник. Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник вычисляется по формуле: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Подставим a = 6√3: \[r = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9\] Радиус вписанной окружности равен 9 см. Ответ: Количество сторон многоугольника равно **6**, радиус вписанной окружности равен **9 см**.