4. Длина дуги кругового сектора равна 2π см, а площадь сектора — 8π см². Найдите градусную меру дуги сектора и радиус круга.

Решение: Длина дуги кругового сектора вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi R \alpha}{180}\] где R - радиус круга, \(\alpha\) - градусная мера дуги. По условию l = 2π: \[2\pi = \frac{\pi R \alpha}{180}\] Площадь сектора вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\] По условию S = 8π: \[8\pi = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\] Разделим второе уравнение на первое: \[\frac{8\pi}{2\pi} = \frac{\frac{\pi R^2 \alpha}{360}}{\frac{\pi R \alpha}{180}}\] \[4 = \frac{R}{2}\] \[R = 8\] Радиус круга равен 8 см. Подставим R = 8 в первое уравнение: \[2\pi = \frac{\pi \cdot 8 \cdot \alpha}{180}\] \[2 = \frac{8 \alpha}{180}\] \[\alpha = \frac{2 \cdot 180}{8} = \frac{180}{4} = 45\] Градусная мера дуги равна 45°. Ответ: Радиус круга равен **8 см**, градусная мера дуги равна **45°**.