808 Дифференцируема ли функция у=f(x) в точке х, если: 1) y=2/(x-1), x=1; 2) y=(3x-5)/(x-3)², x=3; 3) y=√x+1, x=0; 4) y=√5-x, x=4?

Решение:

1. \( y = \frac{2}{x-1}, x = 1 \)

   Функция не определена в точке \( x = 1 \), так как знаменатель обращается в нуль. Следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.

2. \( y = \frac{3x-5}{(x-3)^2}, x = 3 \)

   Функция не определена в точке \( x = 3 \), так как знаменатель обращается в нуль. Следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.

3. \( y = \sqrt{x+1}, x = 0 \)

   \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)

   \( y'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2} \)

   Производная существует и конечна, следовательно, функция дифференцируема в точке \( x = 0 \).

4. \( y = \sqrt{5-x}, x = 4 \)

   \( y' = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} \)

   \( y'(4) = \frac{-1}{2\sqrt{5-4}} = -\frac{1}{2} \)

   Производная существует и конечна, следовательно, функция дифференцируема в точке \( x = 4 \).

Ответ:

• 1) Не дифференцируема, так как функция не определена в точке \( x = 1 \).
• 2) Не дифференцируема, так как функция не определена в точке \( x = 3 \).
• 3) Дифференцируема.
• 4) Дифференцируема.