809 Найти значения х, при которых значение производной функции f(х) равно 0, если: 1) f (x)=x³-2x; 2) f (x)= -x²+3x+1; 3) f (x)=2x³+3x²-12x-3; 4) f (x)=x⁴+2x³-7x+1; 5) f (x)=3x⁴-4x³-12x²; 6) f (x)=x⁵+4x³-8x²-5.

Решение:

1. \( f(x) = x^3 - 2x \)

   Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 2 \)

   \( 3x^2 - 2 = 0 \)

   \( x^2 = \frac{2}{3} \)

   \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \)

2. \( f(x) = -x^2 + 3x + 1 \)

   Производная: \( f'(x) = -2x + 3 \)

   \( -2x + 3 = 0 \)

   \( x = \frac{3}{2} \)

3. \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3 \)

   Производная: \( f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 \)

   \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \)

   \( x^2 + x - 2 = 0 \)

   \( (x + 2)(x - 1) = 0 \)

   \( x = -2, x = 1 \)

4. \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 7x + 1 \)

   Производная: \( f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 7 \)

   \( 4x^3 + 6x^2 - 7 = 0 \)

   Это уравнение не решается аналитически простыми методами. Можно найти приближенные решения численными методами.

5. \( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 \)

   Производная: \( f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x \)

   \( 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 \)

   \( 12x(x^2 - x - 2) = 0 \)

   \( 12x(x - 2)(x + 1) = 0 \)

   \( x = 0, x = 2, x = -1 \)

6. \( f(x) = x^5 + 4x^3 - 8x^2 - 5 \)

   Производная: \( f'(x) = 5x^4 + 12x^2 - 16x \)

   \( 5x^4 + 12x^2 - 16x = 0 \)

   \( x(5x^3 + 12x - 16) = 0 \)

   \( x = 0 \) - один корень. Остальные корни можно найти численными методами.

Ответ:

• 1) \( x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \)
• 2) \( x = \frac{3}{2} \)
• 3) \( x = -2, x = 1 \)
• 4) Уравнение \( 4x^3 + 6x^2 - 7 = 0 \) не решается аналитически простыми методами.
• 5) \( x = 0, x = 2, x = -1 \)
• 6) \( x = 0 \) - один корень. Остальные корни уравнения \( 5x^3 + 12x - 16 = 0 \) можно найти численными методами.