6* Для любого числа х ∈ R докажите справедливость нера- венства: a) x² 16x + 69 > 0; б) x² + 4x + 5≥ 2х + 2, найдите значения х, при которых левая часть неравенства равна правой; B) x² + 6x + 6 2 2 + x² + 6x + 10 > 0, найдите значения х, при ко- торых левая часть неравенства равна правой.

6. a) Докажем, что $$x^2 - 16x + 69 > 0$$ для любого $$x \in R$$.

Выделим полный квадрат:

$$x^2 - 16x + 64 + 5 > 0$$

$$(x - 8)^2 + 5 > 0$$

Т.к. $$(x-8)^2 \ge 0$$ для любого x, то $$(x - 8)^2 + 5 > 0$$ для любого x.

б) Найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна правой:

$$x^2 + 4x + 5 = 2x + 2$$

$$x^2 + 2x + 3 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений.

в) Найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна правой:

$$\frac{x^2 + 6x + 6}{2} + \frac{2}{x^2 + 6x + 10} = 0$$

Замена: $$t = x^2 + 6x$$

$$\frac{t + 6}{2} + \frac{2}{t + 10} = 0$$

$$\frac{(t+6)(t+10) + 4}{2(t+10)} = 0$$

$$\frac{t^2 + 16t + 60 + 4}{2(t+10)} = 0$$

$$\frac{t^2 + 16t + 64}{2(t+10)} = 0$$

$$\frac{(t+8)^2}{2(t+10)} = 0$$

$$(t+8)^2 = 0$$

$$t = -8$$

Вернемся к исходной переменной:

$$x^2 + 6x = -8$$

$$x^2 + 6x + 8 = 0$$

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

$$x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4$$

Ответ: a) неравенство доказано; б) нет решений; в) x = -2, x = -4.