5* Решите неравенство 2 (3x − 1)² − 3x−1 +1≤0.

Решим неравенство:

$$\frac{2}{(3x-1)^2} - \frac{3}{3x-1} + 1 \le 0$$

Замена: $$t = \frac{1}{3x-1}$$

$$2t^2 - 3t + 1 \le 0$$

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

$$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$

$$2(t-1)(t-\frac{1}{2}) \le 0$$

$$(t-1)(t-\frac{1}{2}) \le 0$$

Метод интервалов: $$t \in [\frac{1}{2}; 1]$$.

Вернемся к исходной переменной:

$$\frac{1}{2} \le \frac{1}{3x-1} \le 1$$

$$\begin{cases} \frac{1}{3x-1} \ge \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3x-1} \le 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{1}{3x-1} - \frac{1}{2} \ge 0 \\ \frac{1}{3x-1} - 1 \le 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{2 - (3x-1)}{2(3x-1)} \ge 0 \\ \frac{1 - (3x-1)}{3x-1} \le 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3 - 3x}{2(3x-1)} \ge 0 \\ \frac{2 - 3x}{3x-1} \le 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{1 - x}{3x-1} \ge 0 \\ \frac{2 - 3x}{3x-1} \le 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{1 - x}{3x-1} \ge 0$$

Нули: x = 1, x = 1/3

-------------------------------------------->
     -      +      -      
----1/3------1-------------------->

$$x \in (\frac{1}{3}; 1]$$.

Решим второе неравенство:

$$\frac{2 - 3x}{3x-1} \le 0$$

Нули: x = 2/3, x = 1/3

-------------------------------------------->
     -      +      -      
----1/3------2/3-------------------->

$$x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup [\frac{2}{3}; +\infty)$$.

Пересечение решений:

$$x \in [\frac{2}{3}; 1]$$.

Ответ: $$x \in [\frac{2}{3}; 1]$$.