966 Доказать, что функция у = 1,8х⁵-2¹/₃х³+7х+12,5 возрастает на всей области определения.

Для доказательства, что функция возрастает на всей области определения, необходимо показать, что её производная положительна для всех x.

1. Находим производную функции: $$y' = (1.8x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12.5)' = 9x^4 - 7x^2 + 7$$
2. Исследуем знак производной: $$9x^4 - 7x^2 + 7 > 0$$ для всех x. Можно заметить, что это квадратное уравнение относительно $$x^2$$. Пусть $$t = x^2$$, тогда: $$9t^2 - 7t + 7 > 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 - 252 = -203 < 0$$ Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$t^2$$ положителен (9 > 0), то данное квадратное выражение всегда положительно.

Так как производная всегда положительна, то функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция y = 1,8х⁵-2¹/₃х³+7х+12,5 возрастает на всей области определения, так как ее производная всегда положительна.