967 Доказать, что функция у = x (1+2√x) возрастает на всей облас

Предположим, что необходимо доказать, что функция $$y = x(1 + 2\sqrt{x})$$ возрастает на всей области определения.

Область определения: $$x \ge 0$$.

1. Найдем производную функции: $$y' = (x + 2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 1 + 3\sqrt{x}$$
2. Исследуем знак производной: Так как $$x \ge 0$$, то $$3\sqrt{x} \ge 0$$. Следовательно, $$1 + 3\sqrt{x} \ge 1 > 0$$ для всех $$x \ge 0$$.

Так как производная всегда положительна (или равна нулю), то функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция $$y = x(1 + 2\sqrt{x})$$ возрастает на всей области определения, так как ее производная всегда положительна.