4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x + 4/x на отрезке [1; 5].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти производную функции, определить критические точки, проверить их на принадлежность отрезку, вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка, и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

1. Находим производную функции: $$y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2}$$
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки: $$1 - \frac{4}{x^2} = 0$$ $$\frac{4}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$
3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку $$[1; 5]$$. $$x = 2$$ принадлежит отрезку, а $$x = -2$$ не принадлежит.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $$x = 2$$ и на концах отрезка $$x = 1$$ и $$x = 5$$:
   • $$y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5$$
   • $$y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$$
   • $$y(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0.8 = 5.8$$
5. Выбираем наибольшее и наименьшее значения: Наибольшее значение $$5.8$$, наименьшее значение $$4$$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [1; 5] равно 5.8, наименьшее значение равно 4.