2 Найти точки экстремума функции у = x/3 + 3/x.

Для нахождения точек экстремума функции, необходимо найти производную функции, определить критические точки (где производная равна нулю или не существует), а затем проверить их на экстремум.

1. Находим производную функции: $$y' = (\frac{x}{3} + \frac{3}{x})' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$$
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки: $$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$$ $$\frac{1}{3} = \frac{3}{x^2}$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$
3. Проверяем критические точки на экстремум (с помощью второй производной или анализа знаков первой производной):
   • Находим вторую производную: $$y'' = (\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2})' = \frac{6}{x^3}$$
   • Проверяем знак второй производной в критических точках:
     • $$x = 3$$, $$y''(3) = \frac{6}{3^3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} > 0$$. Значит, в точке $$x = 3$$ минимум.
     • $$x = -3$$, $$y''(-3) = \frac{6}{(-3)^3} = \frac{6}{-27} = -\frac{2}{9} < 0$$. Значит, в точке $$x = -3$$ максимум.

Точки экстремума: $$x = -3$$ (максимум), $$x = 3$$ (минимум).

Ответ: Точки экстремума: x = -3 (максимум), x = 3 (минимум).