Доказать параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁. 6. Дано: ABCD — пространственный четырёхугольник. DA₁ : A₁A = DB₁ : B₁B = DC₁ : C₁C.

Из условия следует, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) делят отрезки \(DA\), \(DB\), \(DC\) в одинаковом отношении. Обозначим это отношение через \(k\):

\(\dfrac{DA_1}{DA}=\dfrac{DB_1}{DB}=\dfrac{DC_1}{DC}=t\), где \(t=\dfrac{k}{1+k}\).

Следовательно, гомотетия с центром \(D\) и коэффициентом \(t\) переводит точки \(A,B,C\) соответственно в \(A_1,B_1,C_1\). Образ плоскости, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной плоскости. Поэтому \((A_1B_1C_1)\parallel(ABC)\).

Ответ: \((ABC)\parallel(A_1B_1C_1)\).