8. Доказать справедливость неравенства х² + y² – 6x + 4y + 13 ≥ 0.

8. Доказать справедливость неравенства $$x^2 + y^2 – 6x + 4y + 13 \geq 0$$.

Решение:

Выделим полные квадраты:

$$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 13 - 9 - 4 = (x-3)^2 + (y+2)^2 + 0 = (x-3)^2 + (y+2)^2 \geq 0$$.

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то сумма квадратов также неотрицательна.

Следовательно, $$x^2 + y^2 – 6x + 4y + 13 \geq 0$$.

Ответ: Доказано.