7. Решить неравенство $$\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5} \geq 0$$.

7. Решить неравенство $$\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5} \geq 0$$.

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$.

Знаменатель: $$x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$$.

Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{(x-3)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0$$.

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x-3 = 0$$, $$x = 3$$.

$$x-5 = 0$$, $$x = 5$$.

$$x+1 = 0$$, $$x = -1$$.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   +    -    +   +   +
---(-1)---(3)---(5)--->

Выберем интервалы, где функция больше или равна нулю: $$(-\infty; -1) \cup \{3\} \cup (5; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -1) \cup \{3\} \cup (5; +\infty)$$