1. Вычислить \frac{\sqrt[3]{9 \cdot 3^5}}{150 \cdot 27^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}}.

1. Вычислить $$\frac{\sqrt[3]{9 \cdot 3^5}}{150 \cdot 27^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}}$$.

Решение:

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

$$\frac{\sqrt[3]{9 \cdot 3^5}}{150 \cdot 27^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{3^2 \cdot 3^5}}{150 \cdot (3^3)^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{3^7}}{150 \cdot 3^6 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{7}{3}}}{150 \cdot 3^{6 - \frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{7}{3}}}{150 \cdot 3^{\frac{17}{3}}} = \frac{1}{150} \cdot 3^{\frac{7}{3} - \frac{17}{3}} = \frac{1}{150} \cdot 3^{-\frac{10}{3}} = \frac{1}{150 \cdot 3^{\frac{10}{3}}} = \frac{1}{150 \cdot \sqrt[3]{3^{10}}} = \frac{1}{150 \cdot \sqrt[3]{3^9 \cdot 3}} = \frac{1}{150 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{1}{150 \cdot 27 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{1}{4050 \sqrt[3]{3}}$$.

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{3^2}$$.

$$\frac{1}{4050 \sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{3^2}}{4050 \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{4050 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{9}}{12150}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt[3]{9}}{12150}$$