555 Доказать тождество: 1) 2 sin 2α - sin 4α = tg² α; 2) 2 cos 2α - sin 4α 2 sin 2α + sin 4α 2 cos 2α + sin 4α = tg² (π -α). 4

1) Докажем тождество: $$\frac{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha $$.

Преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла: $$\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$$. Тогда, $$2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha)$$.

Преобразуем знаменатель: $$2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)$$.

Получаем: $$\frac{2 \sin 2\alpha (1-\cos 2\alpha)}{2 \sin 2\alpha (1+\cos 2\alpha)} = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$$.

Преобразуем, используя формулы: $$1-\cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$$, $$1+\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$$. Тогда, $$\frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$$.

Таким образом, $$\frac{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$$, ч.т.д.

2) Докажем тождество: $$\frac{2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha)$$.

Преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла: $$\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$$. Тогда, $$2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha = 2 \cos 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (1 - \sin 2\alpha)$$.

Преобразуем знаменатель: $$2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha (1 + \sin 2\alpha)$$.

Получаем: $$\frac{2 \cos 2\alpha (1-\sin 2\alpha)}{2 \cos 2\alpha (1+\sin 2\alpha)} = \frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha}$$.

Преобразуем, используя формулы: $$1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$$, $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$. Тогда, $$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = (\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha})^2$$.

Разделим числитель и знаменатель на косинус: $$\frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} - \alpha)$$.

Таким образом, $$\frac{2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha)$$, ч.т.д.

Ответ: Доказано