8. Докажите, что 1) 319-276+98 делится на 57 2) 1313-1 кратно 3

Ответ:

1) Докажем, что 3^19 - 27^6 + 9^8 делится на 57: 3^19 - 27^6 + 9^8 = 3^19 - (3^3)^6 + (3^2)^8 = 3^19 - 3^18 + 3^16 = 3^16(3^3 - 3^2 + 1) = 3^16(27 - 9 + 1) = 3^16 * 19 Так как 57 = 3 * 19, то 3^16 * 19 делится на 57. 2) Докажем, что 13^13 - 1 кратно 3: 13 ≡ 1 (mod 3), так как 13 = 3 * 4 + 1 13^13 ≡ 1^13 (mod 3) 13^13 ≡ 1 (mod 3) 13^13 - 1 ≡ 1 - 1 (mod 3) 13^13 - 1 ≡ 0 (mod 3) Значит, 13^13 - 1 кратно 3.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что преобразования выполнены верно и приводят к делимости на указанные числа.

Доп. профит: Применение модульной арифметики упрощает доказательства делимости.