5. Решить уравнение с двумя переменными в целых числах х²- y² = 69

Ответ:

Уравнение: x^2 - y^2 = 69 Разложим левую часть на множители: (x - y)(x + y) = 69 Найдем все возможные пары делителей числа 69: (1, 69), (3, 23), (23, 3), (69, 1) Решим систему уравнений для каждой пары: 1) x - y = 1 и x + y = 69 Сложим уравнения: 2x = 70, x = 35 Тогда y = 35 - 1 = 34 Решение: (35, 34) 2) x - y = 3 и x + y = 23 Сложим уравнения: 2x = 26, x = 13 Тогда y = 13 - 3 = 10 Решение: (13, 10) 3) x - y = 23 и x + y = 3 Сложим уравнения: 2x = 26, x = 13 Тогда y = 13 - 23 = -10 Решение: (13, -10) 4) x - y = 69 и x + y = 1 Сложим уравнения: 2x = 70, x = 35 Тогда y = 35 - 69 = -34 Решение: (35, -34) Также рассмотрим отрицательные делители: 5) x - y = -1 и x + y = -69 Сложим уравнения: 2x = -70, x = -35 Тогда y = -35 + 1 = -34 Решение: (-35, -34) 6) x - y = -3 и x + y = -23 Сложим уравнения: 2x = -26, x = -13 Тогда y = -13 + 3 = -10 Решение: (-13, -10) 7) x - y = -23 и x + y = -3 Сложим уравнения: 2x = -26, x = -13 Тогда y = -13 + 23 = 10 Решение: (-13, 10) 8) x - y = -69 и x + y = -1 Сложим уравнения: 2x = -70, x = -35 Тогда y = -35 + 69 = 34 Решение: (-35, 34) Ответ: (35, 34), (13, 10), (13, -10), (35, -34), (-35, -34), (-13, -10), (-13, 10), (-35, 34)

Проверка за 10 секунд: Подставьте каждое решение в исходное уравнение и убедитесь, что оно выполняется.

Доп. профит: Разложение на множители - мощный инструмент для решения уравнений в целых числах.