5. Докажите, что abcdef : 8 <=> def : 8.

Пусть abcdef - шестизначное число, где a, b, c, d, e, f - цифры. Тогда его можно представить как:

abcdef = 1000 * abc + def = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f.

1000 делится на 8, так как 1000 = 8 * 125.

Если abcdef делится на 8, то abcdef = 8k, где k - целое число.

abcdef = 1000 * abc + def = 8 * 125 * abc + def.

Если abcdef делится на 8, то 8k = 8 * 125 * abc + def.

def = 8k - 8 * 125 * abc = 8(k - 125 * abc).

Так как def = 8(k - 125 * abc), то def делится на 8.

Обратно, если def делится на 8, то def = 8m, где m - целое число.

abcdef = 1000 * abc + def = 1000 * abc + 8m = 8 * 125 * abc + 8m = 8(125 * abc + m).

Так как abcdef = 8(125 * abc + m), то abcdef делится на 8.

Ответ: Доказано.