10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Доказательство: Пусть дана прямая a и точка A на этой прямой. Проведем окружность с центром в точке A. Окружность пересечет прямую a в двух точках B и C. Построим две окружности с центрами в точках B и C, радиусы которых больше половины отрезка BC. Эти окружности пересекутся в двух точках D и E. Прямая, проходящая через точки D и E, будет перпендикулярна прямой a и будет проходить через точку A. Докажем, что только один перпендикуляр можно провести через данную точку. Предположим, что есть еще один перпендикуляр. Тогда получим треугольник, у которого два угла по 90°, что невозможно, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ: Через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну, что и требовалось доказать.